دو عدد حقیقی بیابید که مجموع آن‌ها $-1.5$ و حاصل ضربشان $-7$ باشد.
اگر دو عدد حقیقی $\alpha$ و $\beta$ باشند، رابطهٔ بین این اعداد و معادلهٔ درجه دومی که ریشه‌های آن هستند، به صورت زیر است:
$$x^2 - Sx + P = 0$$
که در آن $S$ مجموع ریشه‌ها و $P$ حاصل ضرب ریشه‌ها است.
در این مسئله، داریم:
**مجموع ریشه‌ها ($S$)**: $$S = -1.5 = -\frac{3}{2}$$
**حاصل ضرب ریشه‌ها ($P$)**: $$P = -7$$
**۱. تشکیل معادلهٔ درجه دوم**
با جایگذاری $S$ و $P$ در معادله، داریم:
$$x^2 - \left(-\frac{3}{2}\right)x + (-7) = 0$$
$$x^2 + \frac{3}{2}x - 7 = 0$$
با ضرب طرفین در $2$ برای حذف کسر، معادله به صورت زیر در می‌آید:
$$2x^2 + 3x - 14 = 0$$
**۲. حل معادله برای یافتن دو عدد**
از روش دلتا استفاده می‌کنیم ($a=2, b=3, c=-14$):
$$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121$$
$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{121} = 11$$
ریشه‌ها (اعداد مورد نظر) عبارتند از:
$$\alpha = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2(2)} = \frac{8}{4} = 2$$
$$\beta = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2(2)} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$$
**دو عدد حقیقی مورد نظر**: $$2 \text{ و } -3.5$$
آیا مستطیلی با محیط $11 \text{ cm}$ و مساحت $6 \text{ cm}^2$ وجود دارد؟ اگر جواب مثبت است، طول و عرض آن را مشخص کنید.
حل: اگر ابعاد مستطیل را $\alpha$ و $\beta$ بنامیم، داریم:
محیط: $2(\alpha + \beta) = 11 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{11}{2} \Rightarrow \beta = \frac{11}{2} - \alpha$
مساحت: $\alpha\beta = 6 \Rightarrow \alpha\left(\frac{11}{2} - \alpha\right) = 6$
الف) معادلهٔ بالا را ساده کنید و از حل آن $\alpha$ و $\beta$ را به دست آورید.
ب) با استفاده از $S$ و $P$ و تشکیل یک معادلهٔ درجه دوم، این مسئله را حل کنید.
ابعاد مستطیل ($\alpha$ و $\beta$) ریشه‌های معادلهٔ درجه دوم $x^2 - Sx + P = 0$ هستند، که در آن $S$ مجموع ریشه‌ها (نصف محیط) و $P$ حاصل ضرب ریشه‌ها (مساحت) است.
**داده‌ها**:
* مجموع ابعاد ($S$): $S = \alpha + \beta = \frac{\text{محیط}}{2} = \frac{11}{2}$
* حاصل ضرب ابعاد ($P$): $P = \alpha\beta = \text{مساحت} = 6$
**الف) ساده‌سازی و حل معادلهٔ حاصل از مساحت**
معادلهٔ $\alpha\left(\frac{11}{2} - \alpha\right) = 6$ را ساده می‌کنیم:
$$\frac{11}{2}\alpha - \alpha^2 = 6$$
$$\alpha^2 - \frac{11}{2}\alpha + 6 = 0$$
با ضرب در $2$:
$$2\alpha^2 - 11\alpha + 12 = 0$$
از روش دلتا استفاده می‌کنیم ($a=2, b=-11, c=12$):
$$\Delta = (-11)^2 - 4(2)(12) = 121 - 96 = 25$$
$$\sqrt{\Delta} = 5$$
ریشه‌ها ($\alpha_1$ و $\alpha_2$) عبارتند از:
$$\alpha = \frac{11 \pm 5}{4}$$
$$\alpha_1 = \frac{16}{4} = 4$$
$$\alpha_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$
اگر $\alpha = 4$ باشد، $\beta = \frac{11}{2} - 4 = 5.5 - 4 = 1.5$.
اگر $\alpha = 1.5$ باشد، $\beta = \frac{11}{2} - 1.5 = 5.5 - 1.5 = 4$.
**نتیجه**: بله، چنین مستطیلی وجود دارد. ابعاد آن $4 \text{ cm}$ و $1.5 \text{ cm}$ هستند.
**ب) حل مسئله با استفاده از $S$ و $P$ و تشکیل معادلهٔ درجه دوم**
**۱. تشکیل معادلهٔ درجه دوم**
با استفاده از $S = \frac{11}{2}$ و $P = 6$، معادلهٔ $x^2 - Sx + P = 0$ را می‌نویسیم:
$$x^2 - \frac{11}{2}x + 6 = 0$$
با ضرب در $2$:
$$2x^2 - 11x + 12 = 0$$
**۲. حل معادله**
این معادله همان معادله‌ای است که در قسمت (الف) به دست آمد و ریشه‌های آن $4$ و $1.5$ بودند.
**طول و عرض مستطیل**: $$4 \text{ cm} \text{ و } 1.5 \text{ cm}$$
معادلهٔ درجه دومی بنویسید که ریشه‌های آن $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ و $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ باشند.
برای تشکیل معادلهٔ درجه دوم $x^2 - Sx + P = 0$ که ریشه‌های آن $\alpha$ و $\beta$ هستند، نیاز به محاسبهٔ مجموع ($S$) و حاصل ضرب ($P$) ریشه‌ها داریم.
ریشه‌ها: $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ و $\beta = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
**۱. محاسبهٔ مجموع ریشه‌ها ($S$)**
$$S = \alpha + \beta = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$$
$$S = \frac{(3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5})}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
**مجموع**: $$S = 3$$
**۲. محاسبهٔ حاصل ضرب ریشه‌ها ($P$)**
$$P = \alpha\beta = \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)$$
صورت از اتحاد مزدوج $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ پیروی می‌کند:
$$P = \frac{3^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \times 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
**حاصل ضرب**: $$P = 1$$
**۳. تشکیل معادله**
با جایگذاری $S = 3$ و $P = 1$ در معادلهٔ $x^2 - Sx + P = 0$:
$$x^2 - 3x + 1 = 0$$
**معادلهٔ درجه دوم مورد نظر**: $$x^2 - 3x + 1 = 0$$
